What is the antiderivative of #(lnx)^2 / x^3#?

Question

Paisley Johnson · Accepted Answer

#int(lnx)^2/x^3dx=-((2(lnx)^2+2lnx+1))/(4x^2)#

Let #y=(lnx)^2 /(x^3)#

#intydx=int(lnx)^2 /(x^3)dx# Let #t=lnx#

#e^t=x#

#e^2t=x^2#

#t^2=(lnx)^2#

#(dt)/dx=1/x#

#dt=1/xdx#

#intydx=int(lnx)^2 /(x^2)(1/xdx)#

#=intt^2/e^(2t)dt#

#intydx=intt^2e^(-2t)dt#

integrating by parts

#intudv=uv-intvdu#

#u=t^2#

#du=2tdt#

#dv=e^-2tdt#

#v=-1/2e^(-2t)#

#intt^2e^(-2t)dt=t^2(-1/2e^(-2t))-int(-1/2e^(-2t))(2tdt)#

#=-t^2/2e^(-2t)+intte^(-2t)dt#

#=-t^2/2e^(-2t)+I_1# where

#I_1=intte^(-2t)dt#

integrating by parts

#intudv=uv-intvdu#

#u=t#

#du=dt#

#dv=e^(-2t)dt#

#v=-1/2e^(-2t)#

#intte^(-2t)dt=t(-1/2e^(-2t))-int(-1/2e^(-2t))dt#

#=-1/2te^(-2t)+1/2(-1/2)e^(-2t)#

#intte^(-2t)dt=-1/2te^(-2t)-1/4e^(-2t)#

#I_1=-1/2te^(-2t)-1/4e^(-2t)#

#intt^2e^(-2t)dt=-t^2/2e^(-2t)+I_1#

#intt^2e^(-2t)dt=-t^2/2e^(-2t)+(-1/2te^(-2t)-1/4e^(-2t))#

#intt^2e^(-2t)dt=-t^2/2e^(-2t)-1/2te^(-2t)-1/4e^(-2t)#

#intt^2e^(-2t)dt=-1/4(2t^2+2t+1)e^-2t#

Replacing

#t=lnx#

#e^(-2t)=1/x^2#

#int(lnx)^2/x^2(1/x)dx=-1/4(2(lnx)^2+2lnx+1)(1/x^2)#

#int(lnx)^2/x^3dx=-1/(4x^2)(2(lnx)^2+2lnx+1)#

#int(lnx)^2/x^3dx=-((2(lnx)^2+2lnx+1))/(4x^2)#

Axel Alvarez · Answer

undefined The antiderivative of (lnx)^2 / x^3 is (-1/2)*[(lnx)^2 + 2(lnx) + 2]/x^2 + C, where C is the constant of integration.